数量关系
目录
数量关系
方法
代入排除法
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范围
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典型题
- 年龄、余数、不定方程、多位数 -
看选项
- 选项为一组数、可转化为一组数 -
剩两项
- 只剩两项时，代入一项即得答案
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方法
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优先排除
- 尾数、奇偶、倍数 -
直接代入
- 最值、好算
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倍数特性法
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整除型
- 若A=B×C，则A能被B或C整除
- 前提：B、C均为整数
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余数型
- 若答案=ax+b，则答案-b能被a整除
- 若答案=ax-b，则答案+b能被a整除
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比例型
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若A/B=m/n，则
- A是m的倍数，B是n的倍数 - A±B是m±n的倍数 -
前提：A、B均为整数，m/n是最简整数比
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判定
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口诀：3、9看各位数字之和，4看末两位，5看末位
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因式分解
- 12=3×4≠2×6 - 分解时必须互质 -
拆分
- 拆成两个数的和或差
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方程法
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普通方程
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设x
- 设小不设大(避免分数) - 设中间量(方便列式) - 求谁设谁(避免陷阱)
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不定方程
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带入排除
- 奇偶特性 - 系数一奇一偶 - 倍数特性 - 系数与常数有公因子 - 系数位数为5 或 0 - 直接代入选项
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不定方程组
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未知数一定是整数
- 消元 -
未知数不一定是整数
- 特值法(一般赋0)
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题型
工程问题
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给完工时间
- 先赋总量（公倍数）
- 再算效率=总量÷时间
- 根据工作工程列方程
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给效率比例型
- 先赋效率（满足比例即可）
- 再算总量=效率×时间
- 根据工作过程列方程
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牛吃草型
- 题型判断：工程总量随时间而变化
- 核心公式：y=(n-g)t
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给具体单位型
- 设未知数，找等量关系列方程
行程问题
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普通行程
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路程=速度×时间
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平均速度
- 总路程÷总时间 - 等距离平均速度=2v1×v2/(v1+v2)
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相对行程
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相遇、追及
- 相遇：s和=v和×t - 追及：s差=v差×t -
多次运动
- 线形两端出发第n次相遇 (2n-1)s=v和×t - 环形第n次相遇 n圈=v和×t - 环形第n次追及 n圈=v差×t - 环形起点相遇 取每个人走一圈时间的公倍数 -
顺水、逆水
- 顺水：s=（v船+v水）×t - 逆水：s=（v船-v水）×t
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比例行程
- s一定，v、t成反比
- v一定，s、t成正比
- t一定，s、v成正比
经济利润问题
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基础经济
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公式
- 利润=售价-进价 - 利润率=利润/进价 - 折扣=折后价/折前价 - 总价=单价×个数 -
方法
- 方程法、赋值法
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分段计费
- 水电费、出租车费、税费
- 分段计算、汇总求和
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函数最值
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识别
- 单价和数量此消彼长 - 求最大利润或售价 -
方法
- 两点式
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容斥问题
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公式
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两集合
- A+B-A∩B=总数-都不 -
三集合
- 标准型: A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不 - 非标准型: A+B+C-满足两项-满足三项×2=总数-都不 - 常识型: 仅满足一项+仅满足两项+仅满足三项=总数-都不
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画图
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画圈圈, 标数据
- 通常只考2个圈, 3个圈 -
从里到外, 注意去重
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排列组合与概率
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基础概念
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排列组合
- 分类用加法
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分步用乘法
- 有序用排列
无序用组合
- 概率
- 给情况求概率: 满足要求的情况数÷所有的情况数
- 给概率求概率: 分类用加法, 分步用乘法
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经典题型
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必须相邻
- 捆绑法 - 先捆再排 -
不能相邻
- 插空法 - 先排再插(不能相邻的) - 不能全连：总数-全部相邻（捆绑法）。 -
凑数字/情况少
- 枚举法 - 不重不漏, 按序(从大到小或反向)枚举 -
环形排列
- n个元素环形排列有(n-1)! 种
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